Soal Matematika TPA Universitas Indonesia Naskah 506 - Soal Simak UI tanpa jawaban

 soal tes Simak UI Matematika IPA TPA

PETUNJUK UMUM 

1. Sebelum mengerjakan ujian, periksalah terlebih dulu, jumlah soal dan nomor halaman yang terdapat pada naskah soal. Naskah soal ini terdiri dari 13 halaman. 
2. Tulislah nomor peserta Anda pada lembar jawaban di tempat yang disediakan. 
3. Tulislah kode naskah soal ini, pada lembar jawaban di tempat yang disediakan. Kode naskah soal ini: 506
4. Bacalah dengan cermat setiap petunjuk yang menjelaskan cara menjawab soal. 
5. Pikirkanlah sebaik-baiknya sebelum menjawab tiap soal, karena setiap jawaban yang salah akan mengakibatkan pengurangan nilai (penilaian: benar +4, kosong 0, salah -1). 
6. Jawablah lebih dulu soal-soal yang menurut Anda mudah, kemudian lanjutkan dengan menjawab soal-soal yang lebih sukar sehingga semua soal terjawab. 
7. Tulislah jawaban Anda pada lembar jawaban ujian yang disediakan. 
8. Untuk keperluan coret-mencoret, harap menggunakan tempat yang kosong pada naskah soal ini dan jangan pernah menggunakan lembar jawaban karena akan mengakibatkan jawaban Anda tidak dapat terbaca. 
9. Selama ujian, Anda tidak diperkenankan bertanya atau meminta penjelasan mengenai soal-soal yang diujikan kepada siapapun, termasuk kepada pengawas ujian. 
10. Setelah ujian selesai, Anda diharapkan tetap duduk di tempat Anda sampai pengawas ujian datang ke tempat Anda untuk mengumpulkan lembar jawaban. 
11. Perhatikan agar lembar jawaban ujian tidak kotor, tidak basah, tidak terlipat, dan tidak sobek.

PETUNJUK KHUSUS 

• PETUNJUK A: Pilih satu jawaban yang paling tepat. 
• PETUNJUK B: Soal terdiri dari 3 bagian, yaitu PERNYATAAN, kata SEBAB, dan ALASAN yang disusun berurutan. Pilihlah:
  (A) Jika pernyataan benar, alasan benar, dan keduanya menunjukkan hubungan sebab dan akibat
  (B) Jika pernyataan benar, alasan benar, tetapi keduanya tidak menunjukkan hubungan sebab dan akibat
  (C) Jika pernyataan benar dan alasan salah
  (D) Jika pernyataan salah dan alasan benar
  (E) Jika pernyataan dan alasan keduanya salah 
• PETUNJUK C: Pilihlah:
  (A) Jika (1), (2), dan (3) yang benar
  (B) Jika (1) dan (3) yang benar
  (C) Jika (2) dan (4) yang benar
  (D) Jika hanya (4) yang benar
  (E) Jika semuanya benar

MATEMATIKA IPA (Nomor 1–12)

Petunjuk A: Pilih satu jawaban yang paling tepat.

1. 

Dua mobil menempuh jarak $450$ km. Kecepatan mobil kedua setiap jamnya $15$ km lebih daripada kecepatan mobil pertama. Jika waktu perjalanan mobil kedua $1$ jam lebih pendek dari waktu perjalanan mobil pertama, maka rata-rata kecepatan kedua mobil tersebut adalah.... (dalam km/jam)

Persamaan matematika yang merepresentasikan soal:
Jika $v_1$ = kecepatan mobil pertama (km/jam), $v_2$ = kecepatan mobil kedua (km/jam), $t_1$ = waktu mobil pertama (jam), $t_2$ = waktu mobil kedua (jam), maka

$$\begin{cases} v_2 = v_1 + 15,\\[4pt] t_2 = t_1 - 1,\\[4pt] v_1 t_1 = 450,\ \text{atau}\ v_2 t_2 = 450\ \text{(jarak sama 450 km).} \end{cases}$$

Soal menanyakan rata-rata kecepatan kedua mobil: $\dfrac{v_1+v_2}{2}$.

Pilihan:
(A) $97.5$  (B) $92.5$  (C) $87.5$  (D) $85$  (E) $82.5$

---

2.

Jumlah $p$ suku pertama dari suatu barisan aritmetika ialah $q$ dan jumlah $q$ suku pertama ialah $p$. Maka jumlah $(p + q)$ suku pertama dari barisan tersebut adalah....

Representasi: jika $S_n$ adalah jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika, maka

$$S_p = q,\qquad S_q = p.$$

Ditanyakan $S_{p+q}$.

Pilihan:
(A) $p + q$  (B) $\dfrac{p + q}{2}$  (C) $p + q + 1$  (D) $-(p + q)$  (E) $-(p + q + 1)$

---

3.

Jumlah semua solusi riil dari persamaan

$$x^5 - 4x^4 - 2x^3 + 39x^2 - 54x = 0$$

adalah....

(Rumus persamaan sudah diberikan.)

Pilihan:
(A) $-4$  (B) $-1$  (C) $0$  (D) $1$  (E) $4$

---

4.

Batas nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan

$${}^2\log x < \frac{1}{(2x - 3)^{-1} \log \sqrt{10}}$$

adalah....

Catatan: notasi log dan batas-batas domain berlaku sesuai rumus di atas.

Pilihan:
(A) $x > \dfrac{3}{4} - \dfrac{\sqrt{17}}{4}$
(B) $\dfrac{3}{4} - \dfrac{\sqrt{17}}{4} < x < \dfrac{\sqrt{17}}{4} + 3$
(C) $\dfrac{3}{4} - \dfrac{\sqrt{17}}{4} \le x \le \dfrac{\sqrt{17}}{4} + 3$
(D) $\dfrac{3}{2} < x < \dfrac{\sqrt{17}}{4} + 3$
(E) ${\displaystyle \frac{3}{2}}\le x<{\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}}+3\mathrm{<br>}\mathrm{}$

5.

Jika $\displaystyle \int_1^4 f(x)\,dx = 6$, maka $\displaystyle \int_1^4 f(5 - x)\,dx =$ ....

Representasi: diberikan integral $\int_1^4 f(x)\,dx = 6$. Ditanyakan nilai $\int_1^4 f(5-x)\,dx$.

Pilihan:
(A) $6$  (B) $3$  (C) $0$  (D) $-1$  (E) $-6$

6.

Vektor $\vec{a} = (0, 2)$ dirotasi berlawanan jarum jam sejauh $\theta$, menghasilkan $\vec{a}'$, dengan $\theta$ adalah pelurus dari sudut yang terbentuk antara vektor $\vec{a}$ dengan proyeksi vektor $\vec{a}$ terhadap vektor $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$. Tentukan $\vec{a}'$!

(Rumus-vektor diberikan; hubungan rotasi dan proyeksi dipakai untuk menentukan $\theta$ lalu menghitung $\vec{a}'$.)

Pilihan:
(A) $\begin{bmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{bmatrix}$  (B) $\begin{bmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{bmatrix}$  (C) $\begin{bmatrix} -\sqrt{3} \\ 1 \end{bmatrix}$  (D) $\begin{bmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{bmatrix}$  (E) $\begin{bmatrix} -1 \\ -\sqrt{3} \end{bmatrix}$

7.

Misalkan $f(x) = (\sqrt{7} + 2)\cos x + (\sqrt{7} - 2)\sin x$, maka nilai maksimum dari $(2f(x))^2$ adalah....

Representasi: berikan fungsi $f(x)$ seperti di atas; ditanyakan $\max (2f(x))^2$.

Pilihan:
(A) $4$  (B) $22$  (C) $44$  (D) $88$  (E) $100$

8.

Banyaknya $x$ dengan $0 \le x \le 2\pi$ yang memenuhi persamaan

$$\frac{1 - 3\cos x}{\sin x + 7\sin x} \cdot \frac{1}{1 - \cos x} = 3 \csc x$$

adalah....

Catatan: penyederhanaan pembilang/penyebut/syarat domain harus diperhatikan (mis. $\sin x\neq 0$, $\cos x \neq 1$, dll.).

Pilihan:
(A) $0$  (B) $1$  (C) $2$  (D) $3$  (E) $4$

---

9. 

Untuk $t > 0$, maka

$$\lim_{t \to 0} \left( \frac{1}{t} + \frac{1}{t+1} \right) = \ldots$$

(Rumus limit diberikan; perhatikan arah limit $t\to 0$ dari sisi positif karena $t>0$.)

Pilihan:
(A) $-\infty$  (B) $-\dfrac{1}{2}$  (C) $0$  (D) $\dfrac{1}{2}$  (E) $\infty$

---

10.

Jika nilai maksimum dari

$$\frac{m}{15 \sin x - 8 \cos x + 25}$$

adalah $2$, maka nilai $m$ adalah....

Representasi: dicari $m$ sehingga fungsi rasio di atas punya maksimum 2 (perhatikan nilai maksimum dari denominator yang bergantung pada kombinasi linear sinus dan cosinus).

Pilihan:
(A) $4$  (B) $16$  (C) $36$  (D) $64$  (E) $84$

---

11.

Pada kubus $ABCD.EFGH$, titik $K$ terletak pada rusuk $GH$ sedemikian sehingga $HK : KG = 1 : 2$. Jika panjang rusuk kubus adalah $a$, maka luas irisan bidang yang melalui titik $A, C,$ dan $K$ adalah....

Representasi: kubus dengan rusuk $a$. Titik $K$ pada $GH$ menepati perbandingan $HK:KG=1:2$. Ditanyakan luas bidang $\triangle$ atau bidang potong yang melalui $A, C, K$.

Pilihan:
(A) $\dfrac{a^2}{9}\sqrt{22}$  (B) $\dfrac{4a^2}{9}\sqrt{22}$  (C) $\dfrac{2a^2}{9}\sqrt{22}$  (D) $\dfrac{4a^2}{3}\sqrt{22}$  (E) $\dfrac{a^2}{3}\sqrt{22}$

---

Petunjuk C (soal 12).
Nilai dari

$$\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{4} \cdots \cos \frac{\alpha}{2^{n-1}} \cos \frac{\alpha}{2^n}$$

adalah salah satu dari pernyataan di bawah:

(1) $\displaystyle \frac{1}{2^n} \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \frac{\alpha}{2^n}}$
(2) $\displaystyle \frac{1}{2^n} \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}}$
(3) $\displaystyle \frac{1}{2^n} \cdot \frac{\tan \alpha \cos \alpha}{\sin \frac{\alpha}{2^n}}$
(4) $\displaystyle \frac{1}{2^n} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha}$

Pilih:
(A) (1), (2), dan (3) benar
(B) (1) dan (3) benar
(C) (2) dan (4) benar
(D) hanya (4) benar
(E) semuanya benar